Trong tam giác, con đường phân giác của một góc phân chia cạnh đối diện thành nhị đoạn trực tiếp tỉ lệ thành phần cùng với nhì cạnh kề hai đoạn ấy.

Bạn đang xem: Hình học 8 bài 3: tính chất đường phân giác của tam giác

Chứng minch định lí:

Qua(B)kẻ đường thẳng song song với(AC)cắt mặt đường thẳng(AD)tại(E).

Ta có:(widehatBAE=widehatCAE)(do(AD)là tia phân giác góc(widehatBAC))

Mặt khác: Do(BE)//(AC)(RightarrowwidehatBEA=widehatCAE)(nhị góc so le trong)

Suy ra(widehatBAE=widehatBEA)(RightarrowDelta BAE)cân tại(B)

(Rightarrow BA=BE) (1)

Áp dụng hệ trái của định lí Ta-lét so với tam giác(DAC), ta có:(dfracDBDC=dfracBEAC) (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra(dfracDBDC=dfracABAC).

lấy ví dụ như 1: Xét tam giác(ABC)có(AB=3cm),(AC=6cm).Tia phân giác của góc(A)giảm cạnh(BC)tại(D). Tính tỉ số(dfracDBDC):

Giải:

Áp dụng đặc thù đường phân giác vào tam giác ta có:(dfracDBDC=dfracABAC)

Lại có:(AB=3cm),(AC=6cm)(Rightarrow)(dfracABAC=dfrac36=dfrac12)

Suy ra(dfracDBDC=dfrac12).

lấy ví dụ 2: Cho tam giác(ABC)có(AB=4,5cm),(AC=6cm).(AD)là tia phân giác góc(A). Giả sử(BD=xleft(cm ight)),(CD=yleft(cm ight)). Tính tỉ số(dfracxy)?

Giải:

Áp dụng đặc thù đườngphân giác trong tam giác ta có:(dfracDBDC=dfracABAC)

(Rightarrowdfracxy=dfrac4,56=dfrac34).

Vậy(dfracxy=dfrac34).

lấy ví dụ 3: Cho tam giác(ABC)có(AB=6cm),(AC=8cm),(BC=10cm).(AD)là tia phân giác góc(A). Giả sử(BD=xleft(cm ight)),(CD=yleft(cm ight)). Tính(x^2+y^2)?

Giải:

Áp dụng đặc điểm đườngphân giác trong tam giác ta có:(dfracDBDC=dfracABAC)

(Rightarrow)(dfracxy=dfrac68=dfrac34)

Lúc đó ta có:(left{eginmatrixdfracxy=dfrac34\x+y=10endmatrix ight.)(Rightarrow)(left{eginmatrixx=dfrac103+4.3=dfrac307\y=dfrac103+4.4=dfrac407endmatrix ight.)

Suy ra(x^2+y^2=left(dfrac307 ight)^2+left(dfrac407 ight)^2=dfrac250049).

ví dụ như 4: Cho tam giác(ABC)gồm trung tuyến(AM).Gọi(AD),(AE)thứu tự là phân giácgóc(widehatAMB)và(widehatAMC)((Din AB,Ein AC)). Chứng minc rằng:(DE)//(BC)?

Giải:

Do(AM)là trung con đường của(Delta ABC)(Rightarrow)(M)là trung điểm(BC)(Rightarrow BM=CM)

Áp dụng đặc điểm con đường phân giác vào tam giác(AMB)ta có:(dfracADDB=dfracAMBM)

Áp dụng đặc điểm con đường phân giác vào tam giác(AMC)ta có:(dfracAEEC=dfracAMCM)

Do(BM=CM)nên(dfracAMBM=dfracAMCM)hay(dfracADDB=dfracAEEC).

Xem thêm: Top 3 Cách Để Mái Dài Nhanh Hơn Trong 1 Đêm Siêu Cấp Tốc, 3 Cách Làm Tóc Dài Nhanh Trong 1 Đêm

Áp dụng hệ trái của định lí Ta-lét đối với(Delta ABC)ta suy ra(DE)//(BC).

Ví dụ 5: Cho(Delta ABC)cân tại(A)có(AB=AC=5cm),(BC=8cm).(I)là giao điểm những mặt đường phân giác vào tam giác. Tính(BI?)

Giải:

Do(Delta ABC)cân tại(A)cần phân giác(AH)đồng thời là con đường cao vàtrung đường của tam giác.

Suy ra(AHperp BC)và(HB=HC=dfrac12BC=dfrac12.8=4left(cm ight)).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông(HAB)ta có:(AH^2+HB^2=AB^2)

(Rightarrow AH=sqrtAB^2-HB^2=sqrt5^2-4^2=3)(cm)

Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác(HAB)ta có:(dfracIAIH=dfracABBH)

(Rightarrow)(dfracIAAB=dfracIHBH)

Áp dụng đặc thù dãy tỉ số đều bằng nhau ta có:

(dfracIAAB=dfracIHBH=dfracIA+IHAB+BH=dfracAHAB+BH=dfrac35+4=dfrac13)

(RightarrowdfracIHBH=dfrac13Rightarrow IH=dfrac13.BH=dfrac13.4=dfrac43)(cm)

Xét(Delta BHI)vuông tại(H). Áp dụng định lí Pytago ta có:(BH^2+IH^2=BI^2)

(Rightarrow BI=sqrtBH^2+IH^2=sqrt4^2+left(dfrac43 ight)^2=dfrac4sqrt103)(cm)

Vậy(BI=dfrac4sqrt103left(cm ight)).

Crúc ý: Định lí vẫn đúng so với tia phân giác của góc quanh đó của tam giác.

Ví dụ: Xét tam giác(ABC)có(AD")là tia phân giác của góc ngoại trừ góc(BAC)((D"in BC))

Khi đó ta cũng có:(dfracD"BD"C=dfracABAC).

Ta hoàn toàn có thể kẻ (BE")//(AC)cùng minh chứng tương tự như nhỏng trường thích hợp tia phân giác vào của tam giác.